التوافيق والتباديل:
مقدمة:
التوافيق والتباديل هما مفاهيمان أساسيان في علم الرياضيات، وهما يرتبطان بعدد الطرق الممكنة لترتيب مجموعة من العناصر. يمكن استخدام التوافيق والتباديل في مجموعة متنوعة من التطبيقات، بما في ذلك العد والاحتمالية وإحصاءات.
١. توافيق:
التوفيق هو طريقة لترتيب مجموعة من العناصر دون اعتبار لترتيبها النسبي. فعلى سبيل المثال، هناك ستة توافيق ممكنة لثلاثة أحرف {أ، ب، ج}. هذه التوافقات هي:
{أ، ب، ج}، {أ، ج، ب}، {ب، أ، ج}، {ب، ج، أ}، {ج، أ، ب}، {ج، ب، أ}.
يمكن حساب عدد التوافقات الممكنة لمجموعة من العناصر من خلال استخدام الصيغة التالية:
تن = ن!
حيث:
تن هو عدد التوافقات الممكنة لمجموعة من العناصر.
ن هو عدد العناصر في المجموعة.
! تعني جداء الأعداد الطبيعية من ١ إلى ن.
مثال: ما هو عدد التوافقات الممكنة لخمسة أرقام؟
الحل:
ت5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
إذن، هناك 120 توافقًا ممكنًا لخمسة أرقام.
٢. تباديل:
التباديل هو طريقة لترتيب مجموعة من العناصر مع مراعاة الترتيب النسبي للعناصر. على سبيل المثال، هناك ستة تباديل ممكنة لثلاثة أحرف {أ، ب، ج}. هذه التباديل هي:
{أ، ب، ج}، {أ، ج، ب}، {ب، أ، ج}، {ب، ج، أ}، {ج، أ، ب}، {ج، ب، أ}.
يمكن حساب عدد التباديل الممكنة لمجموعة من العناصر من خلال استخدام الصيغة التالية:
تن، ر = ن! / (ن – ر)!
حيث:
تن، ر هو عدد التباديل الممكنة لعدد ر من العناصر من بين عدد ن من العناصر.
ن هو عدد العناصر في المجموعة.
ر هو عدد العناصر التي نريد ترتيبها.
! تعني جداء الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن.
مثال: ما هو عدد التباديل الممكنة لثلاثة أرقام من بين خمسة أرقام؟
الحل:
ت5، 3 = 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60
إذن، هناك 60 تباديلًا ممكنًا لثلاثة أرقام من بين خمسة أرقام.
٣. علاقة التوفيق والتباديل:
ترتبط التوافيق والتباديل بعلاقة مهمة. حيث أن عدد التباديل لمجموعة من العناصر يساوي عدد التوافقات لتلك المجموعة مضروبًا في عدد التباديل لكل عنصر في المجموعة.
بعبارة أخرى:
تن، ن = تن × ت1
حيث:
تن، ن هو عدد التباديل الممكنة لمجموعة من العناصر.
تن هو عدد التوافقات الممكنة لمجموعة من العناصر.
ت1 هو عدد التباديل الممكنة لكل عنصر في المجموعة.
مثال: عدد التباديل الممكنة لثلاثة أحرف هو 6، وعدد التوافقات الممكنة لثلاثة أحرف هو 6 أيضًا. إذن، يمكن حساب عدد التباديل الممكنة لكل حرف في المجموعة على النحو التالي:
ت1 = ت3، 3 / ت3 = 6 / 6 = 1
إذن، هناك تبادل واحد ممكن لكل حرف في المجموعة.
٤. التوافيق المتعددة:
التوفيق المتعدد هو طريقة لترتيب مجموعة من العناصر مع السماح بتكرار العناصر. فعلى سبيل المثال، هناك 36 توافقًا متعددًا ممكنًا لثلاثة أحرف {أ، ب، ج} مع السماح بتكرار العناصر. هذه التوافقات المتعددة هي:
{أ، أ، أ}، {أ، أ، ب}، {أ، أ، ج}، {أ، ب، أ}، {أ، ب، ب}، {أ، ب، ج}، {أ، ج، أ}، {أ، ج، ب}، {أ، ج، ج}، {ب، أ، أ}، {ب، أ، ب}، {ب، أ، ج}، {ب، ب، أ}، {ب، ب، ب}، {ب، ب، ج}، {ب، ج، أ}، {ب، ج، ب}، {ب، ج، ج}، {ج، أ، أ}، {ج، أ، ب}، {ج، أ، ج}، {ج، ب، أ}، {ج، ب، ب}، {ج، ب، ج}، {ج، ج، أ}، {ج، ج، ب}، {ج، ج، ج}، {أ، ب، ج}، {أ، ب، ج}، {أ، ب، ج}، {أ، ب، ج}، {أ، ج، ب}، {أ، ج، ب}، {أ، ج، ب}.
يمكن حساب عدد التوافقات المتعددة الممكنة لمجموعة من العناصر من خلال استخدام الصيغة التالية:
تن، رك = نر
حيث:
تن، رك هو عدد التوافقات المتعددة الممكنة لعدد ر من العناصر من بين عدد ن من العناصر مع السماح بتكرار العناصر.
ن هو عدد العناصر في المجموعة.
ر هو عدد العناصر التي نريد ترتيبها.
ك هو عدد مرات تكرار كل عنصر.
مثال: ما هو عدد التوافقات المتعددة الممكنة لثلاثة أحرف من بين خمسة أحرف مع السماح بتكرار العناصر؟
الحل:
ت5، 33 = 53 = 125
إذن، هناك 125 توافقًا متعددًا ممكنًا لثلاثة أحرف من بين خمسة أحرف مع السماح بتكرار العناصر.
٥. التباديل المتعددة:
التباديل المتعددة هي طريقة لترتيب مجموعة من العناصر مع السماح بتكرار العناصر ومراعاة الترتيب النسبي للعناصر. فعلى سبيل المثال، هناك 60 تبادلًا متعددًا ممكنًا لثلاثة أحرف {أ، ب، ج} مع السماح بتكرار العناصر. هذه التباديل المتعددة هي:
{أ، أ، أ}، {أ، أ، ب}، {أ، أ، ج}، {أ، ب، أ}، {أ، ب، ب}، {أ، ب، ج}، {أ، ج، أ}، {أ، ج، ب}، {أ، ج، ج}، {ب، أ، أ}، {ب، أ، ب}، {ب، أ، ج}، {ب، ب، أ}، {ب، ب، ب}، {ب، ب، ج}، {ب، ج، أ}، {ب، ج، ب}، {ب، ج، ج}، {ج، أ، أ}، {ج، أ، ب}، {ج، أ، ج}، {ج، ب، أ}، {ج، ب، ب}، {ج، ب، ج}، {ج، ج، أ}، {ج، ج، ب