العدد المركب

العدد المركب

العدد المركب

المقدمة:

العدد المركب هو عدد رياضي يتكون من جزأين، الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. الجزء الحقيقي هو عدد حقيقي، والجزء التخيلي هو عدد حقيقي مضروب في الوحدة التخيلية i، حيث i^2 = -1. يتم تمثيل العدد المركب على النحو التالي:

z = a + bi

حيث a هو الجزء الحقيقي وb هو الجزء التخيلي.

خصائص العدد المركب:

1. الجمع والطرح:

– يمكن جمع وطرح عددين مركبين عن طريق جمع وطرح أجزائهما الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل.

– أي z1 = a + bi و z2 = c + di، فإن

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i

2. الضرب والقسمة:

– يمكن ضرب عددين مركبين عن طريق ضرب أجزائهما الحقيقية والتخيلية مع بعضها البعض.

– أي z1 = a + bi و z2 = c + di، فإن

z1 z2 = (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

– يمكن قسمة عدد مركب على عدد مركب آخر عن طريق ضرب العدد الأول في مقلوب العدد الثاني.

– أي z1 = a + bi و z2 = c + di، فإن

z1 / z2 = (a + bi)/(c + di) = ((a + bi)(c – di))/(c^2 + d^2) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc – ad)/(c^2 + d^2)i

3. القيمة المطلقة:

– القيمة المطلقة للعدد المركب z = a + bi تعطى بالمعادلة التالية:

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

4. الزاوية:

– الزاوية التي يشكلها العدد المركب z = a + bi مع المحور الحقيقي تعطى بالمعادلة التالية:

arg(z) = arctan(b/a)

5. المرافق:

– المرافق للعدد المركب z = a + bi هو العدد المركب z = a – bi.

6. العدد المركب المترافق:

– العدد المركب المترافق للعدد المركب z = a + bi هو العدد المركب z = a – bi.

7. الأعداد المركبة و الهندسة:

– يمكن تمثيل الأعداد المركبة هندسيًا كنقاط في المستوى.

– يمثل الجزء الحقيقي للعدد المركب الإحداثي السيني لل نقطة، ويمثل الجزء التخيلي الإحداثي الصادي للنقطة.

الخلاصة:

العدد المركب هو عدد رياضي يتكون من جزأين، الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. يمكن استخدام الأعداد المركبة لتمثيل نقاط في المستوى، ولحل المعادلات الجبرية من الدرجة الثانية، وللدراسة التحليلية للوظائف.

أضف تعليق