الفرق بين التباديل والتوافيق

المقدمة:

علم التباديل والتوافيق هو فرع من الرياضيات يتعامل مع ترتيب العناصر في مجموعات. يمكن استخدامه لحل مجموعة متنوعة من المشكلات في الرياضيات والعلوم والهندسة. في هذا المقال، سوف نستكشف الفرق بين التباديل والتوافيق.

التعريفات:

التباديل

هي ترتيبات العناصر في مجموعة معينة بحيث لا يتكرر أي عنصر. على سبيل المثال، إذا كان لدينا المجموعة {1، 2، 3}، فإن التباديل التي يمكننا صنعها هي:

{1، 2، 3}

{1، 3، 2}

{2، 1، 3}

{2، 3، 1}

{3، 1، 2}

{3، 2، 1}

التوافيق

هي ترتيبات العناصر في مجموعة معينة بحيث يمكن تكرار العناصر. على سبيل المثال، إذا كان لدينا المجموعة {1، 2، 3}، فإن التوافيق التي يمكننا صنعها هي:

{1، 1، 1}

{1، 1، 2}

{1، 1، 3}

{1، 2، 1}

{1، 2، 2}

{1، 2، 3}

{1، 3، 1}

{1، 3، 2}

{1، 3، 3}

{2، 1، 1}

{2، 1، 2}

{2، 1، 3}

{2، 2، 1}

{2، 2، 2}

{2، 2، 3}

{2، 3، 1}

{2، 3، 2}

{2، 3، 3}

{3، 1، 1}

{3، 1، 2}

{3، 1، 3}

{3، 2، 1}

{3، 2، 2}

{3، 2، 3}

{3، 3، 1}

{3، 3، 2}

{3، 3، 3}

الصيغ:

صيغة التباديل

عدد التباديل الممكنة لـ n عنصرًا هو:

$$P(n) = n!$$

حيث n! يمثل جداء الأعداد الصحيحة من 1 إلى n. على سبيل المثال، عدد التباديل الممكنة لـ 4 عناصر هو:

$$P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24$$

صيغة التوافيق

عدد التوافيق الممكنة لـ n عنصرًا، حيث يمكن تكرار كل عنصر r مرة، هو:

$$C(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

حيث n! يمثل جداء الأعداد الصحيحة من 1 إلى n، و(n-r)! يمثل جداء الأعداد الصحيحة من 1 إلى (n-r). على سبيل المثال، عدد التوافيق الممكنة لـ 5 عناصر، حيث يمكن تكرار كل عنصر مرتين، هو:

$$C(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5 × 4 × 3!}{3!} = 20$$

التطبيقات:

التباديل

يمكن استخدام التباديل في مجموعة متنوعة من التطبيقات، بما في ذلك:

عد ترتيبات الأرقام في رقم سري

عد ترتيبات الحروف في كلمة

عد ترتيبات الأشخاص في طابور

عد ترتيبات الأشياء على رف

التوافيق

يمكن استخدام التوافيق في مجموعة متنوعة من التطبيقات، بما في ذلك:

عد الطرق لاختيار r عنصرًا من مجموعة تتكون من n عنصرًا دون مراعاة الترتيب

عد الطرق لترتيب r عنصرًا من مجموعة تتكون من n عنصرًا مع مراعاة الترتيب

عد الطرق لتوزيع r عنصرًا على n شخصًا مع مراعاة الترتيب

الخاتمة:

التباديل والتوافيق هما مفهومان رياضيان مهمان لهما مجموعة متنوعة من التطبيقات. يمكن استخدام التباديل لحساب عدد الطرق لترتيب العناصر في مجموعة معينة، بينما يمكن استخدام التوافيق لحساب عدد الطرق لاختيار العناصر من مجموعة معينة.