المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

المقدمة:

التتابعات والمتسلسلات الهندسية هما نوعان مهمان من المتتاليات الرياضية. تتميز المتتابعات الهندسية بأن النسبة بين أي حدين متتاليين ثابتة، بينما تتميز المتسلسلات الهندسية بأن مجموع حدودها لا نهائي. تُستخدم المتتاليات والمتسلسلات الهندسية في العديد من التطبيقات، بما في ذلك الرياضيات والعلوم والهندسة والاقتصاد.

1. المتتابعات الهندسية:

تتكون المتتابعات الهندسية من مجموعة من الأعداد التي تتبع نمطًا معينًا.

النسبة بين أي حدين متتاليين في المتتابعات الهندسية ثابتة.

تُكتب المتتابعات الهندسية عادةً في شكل: a, ar, ar^2, ar^3, … حيث a هو الحد الأول وr هو النسبة المشتركة.

2. إيجاد الحد العام للمتتابعات الهندسية:

لإيجاد الحد العام للمتتابعات الهندسية، نستخدم الصيغة التالية: a_n = a_1 r^(n-1)، حيث a_n هو الحد العام، a_1 هو الحد الأول، r هي النسبة المشتركة، وn هو رقم الحد.

تُستخدم هذه الصيغة لإيجاد أي حد في المتتابعات الهندسية دون الحاجة إلى إيجاد جميع الحدود السابقة.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا المتتالية الهندسية 1, 2, 4, 8, 16، فإن الحد العام للمتتالية هو a_n = 1 2^(n-1).

3. مجموع المتتابعات الهندسية المتناهية:

مجموع المتتابعات الهندسية المتناهية هو مجموع الحدود n الأولى للمتتابعات.

تُعطى صيغة مجموع المتتابعات الهندسية المتناهية بالصيغة التالية: S_n = a_1 (1 – r^n) / (1 – r)، حيث S_n هو مجموع الحدود n الأولى، a_1 هو الحد الأول، r هي النسبة المشتركة، وn هو عدد الحدود.

تُستخدم هذه الصيغة لإيجاد مجموع أي عدد من الحدود في المتتابعات الهندسية المتناهية.

4. المتسلسلات الهندسية:

المتسلسلات الهندسية هي متتاليات لا نهائية من الأعداد التي تتبع نمطًا معينًا.

النسبة بين أي حدين متتاليين في المتسلسلات الهندسية ثابتة.

تُكتب المتسلسلات الهندسية عادةً في شكل: a + ar + ar^2 + ar^3 + … حيث a هو الحد الأول وr هو النسبة المشتركة.

5. إيجاد الحد العام للمتسلسلات الهندسية:

لإيجاد الحد العام للمتسلسلات الهندسية، نستخدم الصيغة التالية: a_n = a_1 r^(n-1)، حيث a_n هو الحد العام، a_1 هو الحد الأول، r هي النسبة المشتركة، وn هو رقم الحد.

تُستخدم هذه الصيغة لإيجاد أي حد في المتسلسلات الهندسية دون الحاجة إلى إيجاد جميع الحدود السابقة.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا المتسلسلة الهندسية 1 + 2 + 4 + 8 + 16، فإن الحد العام للمتسلسلة هو a_n = 1 2^(n-1).

6. مجموع المتسلسلات الهندسية المتقاربة:

مجموع المتسلسلات الهندسية المتقاربة هو مجموع جميع حدود المتسلسلة.

تُعطى صيغة مجموع المتسلسلات الهندسية المتقاربة بالصيغة التالية: S = a_1 / (1 – r)، حيث S هو مجموع المتسلسلة، a_1 هو الحد الأول، وr هي النسبة المشتركة.

تُستخدم هذه الصيغة لإيجاد مجموع أي متسلسلة هندسية متقاربة.

7. التطبيقات الهندسية:

تُستخدم المتتاليات والمتسلسلات الهندسية في العديد من التطبيقات الهندسية، بما في ذلك:

حساب الفائدة المركبة.

إيجاد معادلة خط مستقيم.

إيجاد معادلة قطع مكافئ.

إيجاد معادلة دالة أسية.

الخاتمة:

المتتاليات والمتسلسلات الهندسية هما نوعان مهمان من المتتاليات الرياضية. تُستخدم هذه المتتاليات والمتسلسلات في العديد من التطبيقات، بما في ذلك الرياضيات والعلوم والهندسة والاقتصاد.