المتطابقات المثلثية هي معادلات رياضية تربط بين مقياس الزوايا ونسب الأضلاع في المثلثات. وهي مفيدة في حل العديد من المسائل الهندسية، مثل حساب مساحة المثلث أو محيطه أو أي من زواياه.
قانون الجيب
قانون الجيب هو أحد المتطابقات المثلثية الأساسية، وينص على أن نسبة طول ضلع في المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة له تساوي نسبة طول أي ضلع آخر إلى جيب الزاوية المقابلة له.
مثال 1: في المثلث ABC، إذا كان AB = 10 سم، وAC = 15 سم، و∠BAC = 30 درجة، فإن:
“`
sin ∠ABC / AB = sin ∠ACB / AC
sin ∠ABC / 10 = sin ∠ACB / 15
sin ∠ABC = (sin ∠ACB / 15) 10
sin ∠ABC = 0.5
∠ABC = 30 درجة
“`
مثال 2: في المثلث DEF، إذا كان DF = 12 سم، وEF = 18 سم، و∠DEF = 45 درجة، فإن:
“`
sin ∠DFE / DF = sin ∠DEF / EF
sin ∠DFE / 12 = sin 45 درجة / 18
sin ∠DFE = (sin 45 درجة / 18) 12
sin ∠DFE = 0.75
∠DFE = 45 درجة
“`
مثال 3: في المثلث GHI، إذا كان GH = 20 سم، وHI = 25 سم، و∠GHI = 60 درجة، فإن:
“`
sin ∠GIH / GH = sin ∠GHI / HI
sin ∠GIH / 20 = sin 60 درجة / 25
sin ∠GIH = (sin 60 درجة / 25) 20
sin ∠GIH = 0.8
∠GIH = 53.13 درجة
“`
قانون جيب التمام
قانون جيب التمام هو متطابقة مثلثية أخرى مهمة، وينص على أن نسبة طول ضلع في المثلث إلى جيب تمام الزاوية المقابلة له تساوي نسبة طول أي ضلع آخر إلى جيب تمام الزاوية المقابلة له.
مثال 1: في المثلث ABC، إذا كان AB = 10 سم، وAC = 15 سم، و∠BAC = 30 درجة، فإن:
“`
sec ∠ABC / AB = sec ∠ACB / AC
sec ∠ABC / 10 = sec ∠ACB / 15
sec ∠ABC = (sec ∠ACB / 15) 10
sec ∠ABC = 1.1547
∠ABC = 77.95 درجة
“`
مثال 2: في المثلث DEF، إذا كان DF = 12 سم، وEF = 18 سم، و∠DEF = 45 درجة، فإن:
“`
sec ∠DFE / DF = sec ∠DEF / EF
sec ∠DFE / 12 = sec 45 درجة / 18
sec ∠DFE = (sec 45 درجة / 18) 12
sec ∠DFE = 1.2247
∠DFE = 69.96 درجة
“`
مثال 3: في المثلث GHI، إذا كان GH = 20 سم، وHI = 25 سم، و∠GHI = 60 درجة، فإن:
“`
sec ∠GIH / GH = sec ∠GHI / HI
sec ∠GIH / 20 = sec 60 درجة / 25
sec ∠GIH = (sec 60 درجة / 25) 20
sec ∠GIH = 1.2887
∠GIH = 61.25 درجة
“`
قانون الظل
قانون الظل هو متطابقة مثلثية ثالثة مهمة، وينص على أن نسبة طول ضلع في المثلث إلى ظل الزاوية المقابلة له تساوي نسبة طول أي ضلع آخر إلى ظل الزاوية المقابلة له.
مثال 1: في المثلث ABC، إذا كان AB = 10 سم، وAC = 15 سم، و∠BAC = 30 درجة، فإن:
“`
tan ∠ABC / AB = tan ∠ACB / AC
tan ∠ABC / 10 = tan ∠ACB / 15
tan ∠ABC = (tan ∠ACB / 15) 10
tan ∠ABC = 0.5774
∠ABC = 30 درجة
“`
مثال 2: في المثلث DEF، إذا كان DF = 12 سم، وEF = 18 سم، و∠DEF = 45 درجة، فإن:
“`
tan ∠DFE / DF = tan ∠DEF / EF
tan ∠DFE / 12 = tan 45 درجة / 18
tan ∠DFE = (tan 45 درجة / 18) 12
tan ∠DFE = 0.8391
∠DFE = 40.67 درجة
“`
مثال 3: في المثلث GHI، إذا كان GH = 20 سم، وHI = 25 سم، و∠GHI = 60 درجة، فإن:
“`
tan ∠GIH / GH = tan ∠GHI / HI
tan ∠GIH / 20 = tan 60 درجة / 25
tan ∠GIH = (tan 60 درجة / 25) 20
tan ∠GIH = 1.1547
∠GIH = 49.46 درجة
“`
قانون ظل التمام
قانون ظل التمام هو متطابقة مثلثية رابعة مهمة، وينص على أن نسبة طول ضلع في المثلث إلى ظل تمام الزاوية المقابلة له تساوي نسبة طول أي ضلع آخر إلى ظل تمام الزاوية المقابلة له.
مثال 1: في المثلث ABC، إذا كان AB = 10 سم، وAC = 15 سم، و∠BAC = 30 درجة، فإن:
“`
cot ∠ABC / AB = cot ∠ACB / AC
cot ∠ABC / 10 = cot ∠ACB / 15
cot ∠ABC = (cot ∠ACB / 15) 10
cot ∠ABC = 1.7321
∠ABC = 60 درجة
“`
مثال 2: في المثلث DEF، إذا كان DF = 12 سم، وEF = 18 سم، و∠DEF = 45 درجة، فإن:
“`
cot ∠DFE / DF = cot ∠DEF / EF
cot ∠DFE / 12 = cot 45 درجة / 18
cot ∠DFE = (cot 45 درجة / 18) 12
cot ∠DFE = 1.1902
∠DFE = 53.13 درجة
“`
مثال 3: في المثلث GHI، إذا كان GH = 20 سم، وHI = 25 سم، و∠GHI = 60 درجة، فإن:
“`
cot ∠GIH / GH = cot ∠GHI / HI
cot ∠GIH / 20 = cot 60 درجة / 25
cot ∠GIH = (cot 60 درجة / 25) 20
cot ∠GIH = 0.8660
∠GIH = 54 درجة
“`
قانون التمام
قانون التمام هو متطابقة مثلثية خامسة مهمة، وينص على أن مربع طول ضلع في المثلث يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الآخرين ناقص ضعف حاصل ضرب طول هذين الضلعين في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما.
مثال 1: في المثلث ABC، إذا كان AB = 10 سم، وAC = 15 سم، و∠BAC = 30 درجة، فإن:
“`
BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 AB AC cos ∠BAC
BC^2 = 10^2 + 15^2 – 2 10 15 cos 30 درجة
“`
مثال 2: في المثلث DEF، إذا كان DF = 12 سم، وEF = 18 سم، و∠DEF = 45 درجة، فإن:
“`
DE^2 = DF^2 + EF^2 – 2 DF EF cos ∠DEF