درجة كثيرة الحدود

مقدمة

الدرجة المتعددة الحدود هي مفهوم في الجبر يصف عدد الحدود في متعدد الحدود. متعدد الحدود هو تعبير مكون من متغير واحد أو أكثر يتم رفعه إلى قوى عدد صحيح غير سالبة ويتم ضربه في معاملات ثابتة. درجة متعدد الحدود هي أعلى قوة للمتغير في أي حد من حدوده.

تصنيف الدرجات المتعددة الحدود

متعدد الحدود من الدرجة الأولى: وهو متعدد الحدود الذي يحتوي على حد واحد فقط، مثل 2x + 3.

متعدد الحدود من الدرجة الثانية: وهو متعدد الحدود الذي يحتوي على حدين، مثل x^2 + 2x + 3.

متعدد الحدود من الدرجة الثالثة: وهو متعدد الحدود الذي يحتوي على ثلاثة حدود، مثل x^3 + 2x^2 + 3x + 4.

متعدد الحدود من الدرجة الرابعة: وهو متعدد الحدود الذي يحتوي على أربعة حدود، مثل x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5.

متعدد الحدود من الدرجة الخامسة: وهو متعدد الحدود الذي يحتوي على خمسة حدود، مثل x^5 + 2x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 5x + 6.

متعدد الحدود من الدرجة السادسة: وهو متعدد الحدود الذي يحتوي على ستة حدود، مثل x^6 + 2x^5 + 3x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 6x + 7.

متعدد الحدود من الدرجة السابعة: وهو متعدد الحدود الذي يحتوي على سبعة حدود، مثل x^7 + 2x^6 + 3x^5 + 4x^4 + 5x^3 + 6x^2 + 7x + 8.

خصائص الدرجة المتعددة الحدود

درجة متعدد الحدود هي عدد الحدود في المتعدد الحدود ناقص واحد. على سبيل المثال، متعدد الحدود x^2 + 2x + 3 له درجة 2 لأنه يحتوي على ثلاثة حدود.

درجة متعدد الحدود هي أعلى قوة للمتغير في أي حد من حدوده. على سبيل المثال، متعدد الحدود x^3 + 2x^2 + 3x + 4 له درجة 3 لأن أعلى قوة للمتغير في أي حد من حدوده هي 3.

إذا ضربنا متعددين حدوديين، فإن درجة الناتج هي مجموع درجات المضاربين. على سبيل المثال، إذا ضربنا متعدد الحدود x^2 + 2x + 3 في متعدد الحدود x + 1، فإن الناتج هو x^3 + 3x^2 + 5x + 3، والذي له درجة 3 لأنها مجموع درجتي المضاربين (2 + 1).

إذا قسمنا متعدد حدود على متعدد حدود آخر، فإن درجة الناتج هي الفرق بين درجة المقسوم ودرجة القاسم. على سبيل المثال، إذا قسمنا متعدد الحدود x^3 + 2x^2 + 3x + 4 على متعدد الحدود x + 1، فإن الناتج هو x^2 + x + 4، والذي له درجة 2 لأنها الفرق بين درجة المقسوم ودرجة القاسم (3 – 1).

استخدامات الدرجة المتعددة الحدود

تُستخدم الدرجة المتعددة الحدود في العديد من التطبيقات العملية، مثل:

في الهندسة، تُستخدم الدرجة المتعددة الحدود لوصف معادلات المنحنيات والأسطح.

في الفيزياء، تُستخدم الدرجة المتعددة الحدود لوصف معادلات الحركة والأمواج.

في الاقتصاد، تُستخدم الدرجة المتعددة الحدود لوصف معادلات الطلب والعرض.

في علوم الكمبيوتر، تُستخدم الدرجة المتعددة الحدود لوصف معادلات الخوارزميات.

تاريخ الدرجة المتعددة الحدود

يعود تاريخ الدرجة المتعددة الحدود إلى العصور القديمة، حيث استخدمها الإغريق القدماء والمصريون القدماء لوصف معادلات المنحنيات والأسطح.

في العصور الوسطى، استخدم علماء الرياضيات العرب والمسلمون الدرجة المتعددة الحدود لوصف معادلات الجبر.

في القرن السابع عشر، طور عالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت نظرية المعادلات، والتي أدت إلى فهم أفضل لدرجة المتعددات الحدود.

في القرن التاسع عشر، طور عالم الرياضيات البريطاني جورج بول نظرية المصفوفات، والتي أدت إلى فهم أفضل لدرجة المتعددات الحدود.

الخوارزميات المتعلقة بالدرجة المتعددة الحدود

هناك العديد من الخوارزميات التي يمكن استخدامها لإيجاد درجة متعدد حدود، بما في ذلك:

خوارزمية هورنر: وهي خوارزمية بسيطة يمكن استخدامها لإيجاد درجة متعدد حدود من الدرجة الأولى أو الثانية.

خوارزمية روث: وهي خوارزمية أكثر تعقيدًا يمكن استخدامها لإيجاد درجة متعدد حدود من أي درجة.

خوارزمية بانيشيفسكي: وهي خوارزمية أكثر تعقيدًا يمكن استخدامها لإيجاد درجة متعدد حدود من أي درجة.

استنتاج

الدرجة المتعددة الحدود هي مفهوم مهم في الجبر وله العديد من التطبيقات العملية. تُستخدم الدرجة المتعددة الحدود لوصف معادلات المنحنيات والأسطح، ومعادلات الحركة والأمواج، ومعادلات الطلب والعرض، ومعادلات الخوارزميات. هناك العديد من الخوارزميات التي يمكن استخدامها لإيجاد درجة متعدد حدود.