العمليات على المصفوفات
مقدمة
المصفوفات هي بنى بيانات أساسية في علوم الكمبيوتر والرياضيات. إنها عبارة عن مجموعة من القيم مرتبة في صفوف وأعمدة. يمكن إجراء العديد من العمليات على المصفوفات، بما في ذلك الجمع والطرح والضرب والقسمة. في هذه المقالة، سنناقش العمليات المختلفة التي يمكن إجراؤها على المصفوفات.
أنواع المصفوفات
هناك أنواع مختلفة من المصفوفات، منها:
المصفوفات ذات الأبعاد الواحدة: تتكون هذه المصفوفات من صف واحد أو عمود واحد.
المصفوفات ذات الأبعاد المتعددة: تتكون هذه المصفوفات من صفوف وأعمدة متعددة.
المصفوفات المربعة: تتكون هذه المصفوفات من عدد متساوٍ من الصفوف والأعمدة.
المصفوفات المتماثلة: تتكون هذه المصفوفات من عناصر متماثلة على طول القطر الرئيسي.
المصفوفات القطرية: تتكون هذه المصفوفات من عناصر غير صفرية على طول القطر الرئيسي فقط.
الجمع والطرح
يمكننا جمع أو طرح مصفوفات من نفس الأبعاد عن طريق إضافة أو طرح العناصر المقابلة في كل صف وعمود. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا مصفوفان A وB على النحو التالي:
“`
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
B = [[7, 8, 9], [10, 11, 12]]
“`
فإن جمع المصفوفتين A وB ينتج عنه المصفوفة التالية:
“`
C = [[8, 10, 12], [14, 16, 18]]
“`
وطرح المصفوفة B من المصفوفة A ينتج عنه المصفوفة التالية:
“`
D = [[-6, -6, -6], [-6, -6, -6]]
“`
الضرب والقسمة
يمكننا ضرب مصفوفة بمصفوفة أخرى عن طريق ضرب عناصر الصفوف في المصفوفة الأولى بعناصر الأعمدة في المصفوفة الثانية ثم جمع النتائج. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا مصفوفان A وB على النحو التالي:
“`
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
B = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]
“`
فإن ضرب المصفوفة A بالمصفوفة B ينتج عنه المصفوفة التالية:
“`
C = [[58, 64], [139, 154]]
“`
لا يمكننا قسمة مصفوفة على مصفوفة أخرى بالطريقة نفسها التي نقسم بها الأعداد. ومع ذلك، يمكننا ضرب المصفوفة الأولى بمصفوفة عكسية للمصفوفة الثانية. المصفوفة العكسية لمصفوفة A هي مصفوفة B بحيث يكون حاصل ضرب A وB هو مصفوفة الهوية.
الانتقال
انتقال المصفوفة هو مصفوفة جديدة يتم الحصول عليها عن طريق تبديل الصفوف والأعمدة في المصفوفة الأصلية. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا مصفوفة A على النحو التالي:
“`
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
“`
فإن انتقال المصفوفة A هو المصفوفة التالية:
“`
AT = [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]
“`
المحدد
محدد المصفوفة هو قيمة رقمية يمكن حسابها من عناصر المصفوفة. يمكن استخدام المحدد لحل العديد من المشاكل في الرياضيات والفيزياء. على سبيل المثال، يمكن استخدام المحدد لحساب حجم متجه ثلاثي الأبعاد.
الرتبة
رتبة المصفوفة هي عدد الصفوف أو الأعمدة المستقلة خطيًا في المصفوفة. رتبة المصفوفة دائمًا أقل من أو تساوي عدد الصفوف وعدد الأعمدة في المصفوفة. يمكن استخدام الرتبة لتحديد قابلية عكس المصفوفة.
الاستخدامات
تُستخدم المصفوفات في العديد من التطبيقات العملية، بما في ذلك:
الرسومات الحاسوبية
معالجة الصور
حل المعادلات الجبرية الخطية
تحليل البيانات
التعلم الآلي
الخلاصة
المصفوفات هي بنى بيانات أساسية في علوم الكمبيوتر والرياضيات. يمكن إجراء العديد من العمليات على المصفوفات، بما في ذلك الجمع والطرح والضرب والقسمة والانتقال والمحدد والرتبة. تُستخدم المصفوفات في العديد من التطبيقات العملية، بما في ذلك الرسومات الحاسوبية ومعالجة الصور وحل المعادلات الجبرية الخطية وتحليل البيانات والتعلم الآلي.