المتطابقات المثلثية

المتطابقات المثلثية

مقدمة

المتطابقات المثلثية هي معادلات تربط بين الدوال المثلثية لزاويتين أو أكثر. وهي مفيدة لحل المعادلات المثلثية ولإيجاد قيم الدوال المثلثية لزوايا خاصة.

قوانين الجمع والطرح

قانون جمع الزاويتين: $$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$ $$\cos(A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B$$ $$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B}$$

قانون طرح الزاويتين: $$\sin(A-B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B$$ $$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$ $$\tan(A-B) = \frac{\tan A – \tan B}{1 + \tan A \tan B}$$

قوانين الزاوية المزدوجة

جيب الزاوية المزدوجة: $$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$$

جيب التمام الزاوية المزدوجة: $$\cos 2A = \cos^2 A – \sin^2 A = 2 \cos^2 A – 1 = 1 – 2 \sin^2 A$$

ظل الزاوية المزدوجة: $$\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 – \tan^2 A}$$

نصف الزاوية ونصف الزاوية المكمّلة

جيب نصف الزاوية: $$\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$$

جيب تمام نصف الزاوية: $$\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$$

ظل نصف الزاوية: $$\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}$$

جيب نصف الزاوية المكمّلة: $$\sin \left( \frac{\pi}{2} – \frac{A}{2}\right)=\cos \frac{A}{2}$$

جيب تمام نصف الزاوية المكمّلة: $$\cos \left( \frac{\pi}{2} – \frac{A}{2}\right)=\sin \frac{A}{2}$$

ظل نصف الزاوية المكمّلة: $$\tan \left( \frac{\pi}{2} – \frac{A}{2}\right)=\cot \frac{A}{2}$$

قوانين بيثاغورس والدوائر المثلثية

قانون بيثاغورس: $$ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 $$ $$ \tan^2 A + 1 = \sec^2 A $$ $$ \cot^2 A + 1 = \csc^2 A $$

الدوائر المثلثية: $$ \sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ $$ \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A$$ $$ \frac{\cos A}{\sin A} = \cot A$$

المتطابقات الأخرى

متطابقة فيثاغورس: $$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

متطابقة الزاوية المزدوجة: $$ \sin (2x) = 2 \sin x \cos x$$

متطابقة نصف الزاوية: $$ \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$$

الاستنتاج

المتطابقات المثلثية هي أداة قوية لحل المعادلات المثلثية ولإيجاد قيم الدوال المثلثية لزوايا خاصة. كما أنها مفيدة في العديد من مجالات الرياضيات والعلوم الأخرى، مثل الهندسة والفيزياء.