مقدمة
الأعداد المركبة هي أعداد لها جزء حقيقي وجزء تخيلي. الجزء الحقيقي هو جزء من العدد يمكن رسمه على خط الأعداد الحقيقي، والجزء التخيلي هو جزء من العدد لا يمكن رسمه على خط الأعداد الحقيقي. ويرمز الجزء التخيلي للعدد المركب بالحرف “i”، حيث i2 = -1.
خصائص الأعداد المركبة
يمكن كتابة العدد المركب في شكل a + bi، حيث a و b هما عددان حقيقيان وi هو الوحدة التخيلية.
يمكن جمع وطرح الأعداد المركبة عن طريق جمع أو طرح الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية بشكل منفصل.
يمكن ضرب الأعداد المركبة عن طريق ضرب الأجزاء الحقيقية مع بعضها البعض وضرب الأجزاء التخيلية مع بعضها البعض ثم جمع الناتجين معًا.
يمكن قسمة الأعداد المركبة عن طريق ضرب البسط والمقام في العدد المركب المترافق للمقام.
العدد المركب المترافق
العدد المركب المترافق لعدد مركب a + bi هو العدد المركب a – bi. العدد المركب المترافق دائمًا ما يكون له نفس الجزء الحقيقي ونفس الجزء التخيلي ولكن بعلامة معاكسة.
صيغة أويلر
صيغة أويلر هي معادلة تربط العدد المركب e بالعدد المركب i. الصيغة هي:
e^ix = cos(x) + i sin(x)
حيث x هو عدد حقيقي.
التمثيل البياني للأعداد المركبة
يمكن تمثيل الأعداد المركبة بيانياً في المستوى العقدي. المستوى العقدي هو مستوى ثنائي الأبعاد يتكون من محور حقيقي ومحور تخيلي. يمثل المحور الحقيقي الأجزاء الحقيقية للأعداد المركبة، ويمثل المحور التخيلي الأجزاء التخيلية للأعداد المركبة.
الزوايا والأعداد المركبة
يمكن استخدام الأعداد المركبة لتمثيل الزوايا. الزاوية هي المقدار الذي تدور به نقطة حول نقطة أخرى. يمكن تمثيل الزاوية بعدد مركب من خلال ضرب طول متجه الوحدة الذي يمثل الزاوية في العدد المركب e^(iθ)، حيث θ هي الزاوية.
تطبيقات الأعداد المركبة
تستخدم الأعداد المركبة في العديد من التطبيقات، بما في ذلك:
الهندسة: تستخدم الأعداد المركبة في الهندسة لتمثيل النقاط والخطوط والدوائر والمستويات وغيرها من الأشكال الهندسية.
الفيزياء: تستخدم الأعداد المركبة في الفيزياء لتمثيل الموجات الكهرومغناطيسية والمجالات الكهربائية والمجالات المغناطيسية وغيرها من الظواهر الفيزيائية.
الرياضيات: تستخدم الأعداد المركبة في الرياضيات لدراسة نظرية الأعداد والجبر والتحليل وغيرها من فروع الرياضيات.
الخاتمة
الأعداد المركبة هي أعداد لها جزء حقيقي وجزء تخيلي. يمكن استخدام الأعداد المركبة لتمثيل الزوايا والنقاط والخطوط والدوائر والمستويات وغيرها من الأشكال الهندسية. كما يمكن استخدام الأعداد المركبة لتمثيل الموجات الكهرومغناطيسية والمجالات الكهربائية والمجالات المغناطيسية وغيرها من الظواهر الفيزيائية. وتستخدم الأعداد المركبة أيضًا في الرياضيات لدراسة نظرية الأعداد والجبر والتحليل وغيرها من فروع الرياضيات.