صور خميره فوريه

صور خميرة فوريه (سلسلة فورييه)

مقدمة:

صور خميرة فوريه، المعروفة أيضًا باسم سلسلة فورييه، هي طريقة رياضية لتمثيل الدوال الدورية كمجموعات من الدوال الجيبية والتوافقية. وقد تم تطويرها بواسطة عالم الرياضيات الفرنسي جان بابتيست جوزيف فورير في أوائل القرن التاسع عشر، ولها تطبيقات واسعة في مجالات مثل: تحليل الإشارات، ومعالجة الصور، والفيزياء، والهندسة.

1. تعريف صور خميرة فوريه:

صور خميرة فوريه للدالة الدورية \(f(x)\) هي الدالة \(F(\omega)\) التي تمثل التوسع الجيبي للدالة \(f(x)\).

يمكن التعبير عن صور خميرة فوريه من خلال المعادلة:

$$F(\omega) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos(n\omega x) + b_n \sin(n\omega x))$$، حيث:

– \(a_0\) هو معامل التيار المستمر.

– \(a_n\) و\(b_n\) هما معاملات صور خميرة فوريه.

– \(\omega\) هو التردد الأساسي.

2. خصائص صور خميرة فوريه:

الخطية: إذا كان لدينا دالتين دوريتين \(f(x)\) و\(g(x)\) وعددين ثابتين \(A\) و\(B\)، فإن صور خميرة فوريه للدالة \(Af(x) + Bg(x)\) تساوي \(A F(\omega) + B G(\omega)\).

التحويل: صور خميرة فوريه لدالة المشتقة \(f'(x)\) تساوي \(j\omega F(\omega)\)، حيث \(j\) هو الوحدة التخيلية.

التكامل: صور خميرة فوريه لدالة التكامل \(f(x)\) تساوي \(\frac{1}{j\omega} F(\omega)\).

3. معاملات صور خميرة فوريه:

يمكن حساب معاملات صور خميرة فوريه باستخدام المعادلات التالية:

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$$، و

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(n\omega x) dx$$، و

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(n\omega x) dx$$.

تمثل معاملات صور خميرة فوريه متوسط ​​الدالة \(f(x)\) ودوالتها الجيبية والتوافقية على فترة واحدة.

4. تطبيقات صور خميرة فوريه:

تحليل الإشارات: تستخدم صور خميرة فوريه في تحليل الإشارات لتفكيك الإشارة إلى مكوناتها الترددية. وهذا مفيد في مجالات مثل: معالجة الصوت، ومعالجة الصور، والاتصالات.

معالجة الصور: تستخدم صور خميرة فوريه في معالجة الصور لتحسين جودة الصورة وتقليل الضوضاء. وهذا مفيد في مجالات مثل: الرؤية الحاسوبية، والتصوير الطبي، والرسومات الحاسوبية.

الفيزياء: تستخدم صور خميرة فوريه في الفيزياء لحل المعادلات التفاضلية الجزئية. وهذا مفيد في مجالات مثل: ميكانيكا الكم، والكهرومغناطيسية، والديناميكا الحرارية.

5. خصائص صور خميرة فوريه:

تسمى الصور عادةً بـ X(f)، حيث f هو التردد،

بالنسبة لإشارة حقيقية، تكون صور فورييه متناظرة حول أصل التردد.

بالنسبة لإشارة حقيقية، تحتوي صور فورييه أيضًا على جزء حقيقي وجزء تخيلي.

بالنسبة لإشارة حقيقية، يكون الجزء الحقيقي متماثلًا ومع الجزء التخيلي هو متماثل بشكل غريب.

6. تطبيقات صور فورييه:

تطبيقات صور فورييه تشمل أجهزة الكمبيوتر والهواتف المحمولة وأجهزة fMRI.

تستخدم صور فورييه على نطاق واسع في علم القياس الزلزالي لتحديد موقع وقياس قوة الزلازل.

يستخدمها المهندسون الكهربائيون لدراسة استجابة الدوائر الكهربائية لترددات مختلفة.

7. صور فورييه المستمرة والمتقطعة:

صور فورييه المستمرة: تُستخدم صور فورييه المستمرة لتمثيل الإشارات المستمرة، مثل الإشارات الصوتية.

صور فورييه المتقطعة: تُستخدم صور فورييه المتقطعة لتمثيل الإشارات المتقطعة، مثل الإشارات الرقمية.

8. الخاتمة:

صور خميرة فوريه هي أداة رياضية قوية تستخدم على نطاق واسع في العديد من المجالات. إنها توفر طريقة فعالة لتمثيل الدوال الدورية كمجموعات من الدوال الجيبية والتوافقية، ولها العديد من التطبيقات في مجالات مثل تحليل الإشارات، ومعالجة الصور، والفيزياء، والهندسة.