قوانين التفاضل والتكامل
مقدمة
التفاضل والتكامل فرعين رئيسيين من الرياضيات يدرسان معًا التغير. وعلى وجه التحديد، يدرس التفاضل كيفية تغير الدوال، بينما يدرس التكامل كيفية حساب المساحات والاحجام تحت منحنيات الدوال.
أنواع الدوال
الأسية: y = e^x
اللوغاريتمية: y = log(x)
الزائدية: y = sinh(x)
الناقصية: y = cosh(x)
الظل: y = tan(x)
ظل الظل: y = cot(x)
القاطع: y = sec(x)
قاعدة الجمع
إذا كانت f(x) و g(x) دالتين قابلتين للتفاضل، فإن مشتق مجموع هاتين الدالتين يساوي مجموع مشتقات كلتا الدالتين. أي:
$$f'(x) + g'(x) = (f + g)'(x)$$
قاعدة الطرح
إذا كانت f(x) و g(x) دالتين قابلتين للتفاضل، فإن مشتق الفرق بين هاتين الدالتين يساوي الفرق بين مشتقات كلتا الدالتين. أي:
$$f'(x) – g'(x) = (f – g)'(x)$$
قاعدة الضرب
إذا كانت f(x) و g(x) دالتين قابلتين للتفاضل، فإن مشتق حاصل ضرب هاتين الدالتين يساوي حاصل ضرب مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية بالإضافة إلى حاصل ضرب الدالة الأولى في مشتق الدالة الثانية. أي:
$$(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
قاعدة القسمة
إذا كانت f(x) و g(x) دالتين قابلتين للتفاضل، فإن مشتق حاصل قسمة الدالة الأولى على الدالة الثانية يساوي حاصل قسمة مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية مطروحًا منه حاصل ضرب الدالة الأولى في مشتق الدالة الثانية، الكل مقسومًا على مربع الدالة الثانية. أي:
$$(\frac{f}{g})'(x) = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$
قاعدة السلسلة
إذا كانت f(x) دالة قابلة للتفاضل و g(x) دالة قابلة للتفاضل أيضًا، فإن مشتق الدالة المركبة f(g(x)) يساوي حاصل ضرب مشتق الدالة الخارجية f(x) في مشتق الدالة الداخلية g(x). أي:
$$(f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)$$
التكامل
التكامل هو العملية العكسية للتفاضل. إذا كانت f(x) دالة قابلة للتفاضل، فإن تكامل f(x) يساوي الدالة F(x) التي يكون مشتقها f(x). أي:
$$\int f(x)dx = F(x) + C$$
حيث C ثابت التكامل.
استخدامات التفاضل والتكامل
التفاضل والتكامل لهما تطبيقات عديدة في مجالات مختلفة، منها:
فيزياء: تُستخدم قوانين التفاضل والتكامل في دراسة الحركة والتسارع والقوة والطاقة.
هندسة: تُستخدم قوانين التفاضل والتكامل في دراسة المنحنيات والأسطح والحجوم.
اقتصاد: تُستخدم قوانين التفاضل والتكامل في دراسة الإنتاج والتوزيع والاستهلاك.
إحصاء: تُستخدم قوانين التفاضل والتكامل في دراسة الاحتمالات والتوزيعات.
خاتمة
قوانين التفاضل والتكامل هي أدوات أساسية في الرياضيات لها تطبيقات واسعة في مجالات مختلفة. وقد تم استخدام هذه القوانين لحل العديد من المشكلات المهمة في العلوم والتكنولوجيا والمجالات الأخرى.