أمثلة عن التكامل الثنائي

المقدمة

التكامل الثنائي هو عملية إيجاد تكامل دالة لمتغيرين. يستخدم التكامل الثنائي لحساب المساحة تحت منحنى، أو حجم الجسم، أو لحساب عمل قوة.

حالات التكامل الثنائي

يتكون النموذج العام للتكامل الثنائي من دالة من متغيرين، أي:

$$f(x, y)$$

التي سيتم تكاملها فوق مجال مستوٍ (أي مجموعة فرعية من المستوى الإقليدي $$ {\mathbb{R}^2}$$). المجال $$ D$$ يمكن أن يكون منطقة بسيطة مثل مستطيل أو قرص، أو يمكن أن يكون شكلًا أكثر تعقيدًا مثل إهليلج أو مثلث.

يتم حساب النموذج العام للتكامل الثنائي على النحو التالي:

$$\iint\limits_D f(x, y) \ dx \ dy$$

حيث $$ {\bf{D}} $$ هو مجال التكامل.

حسابات التكامل الثنائي على المناطق المستطيلة

من أبسط الأمثلة عن التكامل الثنائي هو حساب مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى دالة ما. فلنفترض أن لدينا منحنىًا للدالة $$f(x)$$ محدد على المجال $$[a, b]$$. يمكننا حساب مساحة المنطقة الواقعة تحت المنحنى عن طريق تكامل الدالة $$f(x)$$ بالنسبة إلى $$x$$ من $$a$$ إلى $$b$$:

$$ \int_a^b f(x) dx$$

يمكننا أيضًا استخدام التكامل الثنائي لحساب مساحة المنطقة الواقعة بين منحنيين. فلنفترض أن لدينا منحنيين للدالتين $$ f(x) $$ و $$ g(x) $$ محددين على المجال $$[a, b]$$ وأن $$f(x) ≥ g(x) $$ لجميع $$ x \in [a, b]$$، يمكننا حساب مساحة المنطقة الواقعة بين المنحنيين عن طريق تكامل الفرق بين الدالتين $$ f(x) $$ و $$ g(x) $$ بالنسبة إلى $$x$$ من $$a$$ إلى $$b$$:

$$ \int_a^b \left( f(x) – g(x) \right) dx $$

حسابات التكامل الثنائي على المناطق الدائرية

يمكن أيضًا استخدام التكامل الثنائي لحساب مساحة المنطقة الواقعة داخل أو خارج الدائرة. فلنفترض أن لدينا دائرة نصف قطرها $$r$$ ومركزها (0, 0). يمكننا حساب مساحة المنطقة الواقعة داخل الدائرة عن طريق تكامل الدالة $$ 1 $$ بالنسبة إلى $$ x $$ و $$ y $$ على المجال $$ D = \{ (x, y) | x^2 + y^2 \leq r^2 \}$$ .

$$ \iint\limits_D 1 \ dx \ dy $$

وبالمثل، يمكننا حساب مساحة المنطقة الواقعة خارج الدائرة عن طريق تكامل الدالة $$ 1 $$ بالنسبة إلى $$ x $$ و $$ y $$ على المجال $$ D = \{ (x, y) | x^2 + y^2 \geq r^2 \}$$ .

$$ \iint\limits_D 1 \ dx \ dy $$

حسابات التكامل الثنائي على المناطق المثلثية

يمكن أيضًا استخدام التكامل الثنائي لحساب مساحة المنطقة داخل أو خارج المثلث. فلنفترض أن لدينا مثلثًا محددًا بالنقاط $$ (a_1, b_1) $$، $$ (a_2, b_2) $$، و $$ (a_3, b_3) $$. يمكننا حساب مساحة المنطقة الواقعة داخل المثلث عن طريق تكامل الدالة $$ 1 $$ بالنسبة إلى $$ x $$ و $$ y $$ على المجال $$ D = \{(x, y) | y \leq mx + b, y \geq nx + p \}$$ حيث $$ m = \frac{b_2 – b_1}{a_2 – a_1} $$، $$ b = b_1 – ma_1 $$، $$ n = \frac{b_3 – b_1}{a_3 – a_1} $$, و $$ p = b_1 – nb_1 $$

وبالمثل، يمكننا حساب مساحة المنطقة الواقعة خارج المثلث عن طريق تكامل الدالة $$ 1 $$ بالنسبة إلى $$ x $$ و $$ y $$ على المجال $$ D = \{(x, y) | y> mx + b, y < nx + p \}$$

حسابات التكامل الثنائي على المناطق غير المنتظمة

يمكن أيضًا استخدام التكامل الثنائي لحساب مساحة المنطقة الواقعة داخل أو خارج أي شكل غير منتظم. ويمكن القيام بذلك عن طريق تقسيم الشكل إلى أجزاء أصغر ومنتظمة، مثل المستطيلات أو الدوائر أو المثلثات، ثم حساب مساحة كل جزء على حدة. ثم يتم جمع مساحات الأجزاء الفرعية للحصول على مساحة الشكل الأصلي.

حسابات التكامل الثنائي لحساب الحجم

يمكن أيضًا استخدام التكامل الثنائي لحساب حجم الجسم. فلنفترض أن لدينا دالة $$ f(x, y) $$ محددة على المجال $$ D $$. يمكننا حساب حجم الجسم المحدد بواسطة الدالة $$ f(x, y) $$ عن طريق تكامل الدالة $$ f(x, y) $$ بالنسبة إلى $$ x $$ و $$ y $$ على المجال $$ D $$.

$$ \iint\limits_D f(x, y) \ dx \ dy $$

حسابات التكامل الثنائي لحساب عمل القوة

يمكن أيضًا استخدام التكامل الثنائي لحساب عمل القوة. فلنفترض أن لدينا قوة $$ {\bf{F}} $$ مؤثرة على جسيم يتحرك على منحنى $$ C $$. يمكننا حساب عمل القوة $$ {\bf{F}} $$ على الجسيم عن طريق تكامل الدالة $$ {\bf{F}} \cdot {\bf{T}} $$ بالنسبة إلى $$ t $$، حيث $$ {\bf{T}} $$ هو وحدة المتجه المماس للمسار $$ C $$.

$$ \int_C {\bf{F}} \cdot {\bf{T}} \ dt $$

الخاتمة

التكامل الثنائي هو أداة قوية لحساب مساحة المنطقة أو حجم الجسم أو عمل القوة. يمكن استخدام التكامل الثنائي لحل مجموعة متنوعة من المشاكل في الرياضيات والفيزياء والهندسة.