بحث عن الاعداد المركبه

البحث عن الأعداد المركبة

المقدمة

الأعداد المركبة هي نوع من الأعداد التي تتكون من جزئين، الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. يتم استخدام الأعداد المركبة لتمثيل كميات متعددة الأبعاد، مثل المواضع في الفضاء أو التيارات الكهربائية. كما أنها تستخدم في العديد من التطبيقات، بما في ذلك الهندسة والفيزياء والهندسة الكهربائية.

التاريخ

يعود تاريخ الأعداد المركبة إلى القرن السادس عشر، عندما تم استخدامها لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو. ومع ذلك، لم يتم قبول الأعداد المركبة على نطاق واسع حتى القرن التاسع عشر، عندما تم تطوير نظرية الأعداد المركبة من قبل العالمين الرياضيين النرويجيين كاسبار ويسيل وهانس فريدريتش جوستاف شوميكر.

تمثيل الأعداد المركبة

يمكن تمثيل الأعداد المركبة كمتجهات في المستوى. يتم تمثيل الجزء الحقيقي للأعداد المركبة بواسطة الإحداثي x، ويتم تمثيل الجزء التخيلي بواسطة الإحداثي y. وبالنظر إلى العدد المركب z = a + bi، فإن الجزء الحقيقي هو a والجزء التخيلي هو b.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

يمكن إجراء العمليات الحسابية الأساسية على الأعداد المركبة، بما في ذلك الجمع والطرح والضرب والقسمة. يمكن أيضًا رفع الأعداد المركبة إلى أسس صحيحة ومتحولة.

الخصائص

للأعداد المركبة العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام. على سبيل المثال، مربع العدد المركب يساوي مربع الجزء الحقيقي مطروحًا منه مربع الجزء التخيلي. بالإضافة إلى ذلك، يمكن استخدام الأعداد المركبة لتمثيل الجذور التربيعية للأعداد السالبة.

التطبيقات

للأعداد المركبة تطبيقات واسعة في العديد من المجالات، بما في ذلك الهندسة والفيزياء والهندسة الكهربائية. في الهندسة، يتم استخدام الأعداد المركبة لتمثيل المواضع في الفضاء. وفي الفيزياء، يتم استخدام الأعداد المركبة لتمثيل التيارات الكهربائية. وفي الهندسة الكهربائية، يتم استخدام الأعداد المركبة لتمثيل الجهد والتيار.

المترافق والجزء الحقيقي والجزء التخيلي

المترافق: المترافق للعدد المركب z = a + bi هو العدد المركب z = a – bi.

الجزء الحقيقي: الجزء الحقيقي للعدد المركب z = a + bi هو a.

الجزء التخيلي: الجزء التخيلي للعدد المركب z = a + bi هو b.

الاقتران والطرح والضرب

الاقتران: إذا كان z = a + bi، فإن المترافق هو z = a – bi.

الطرح: إذا كان z1 = a1 + b1i وz2 = a2 + b2i، فإن z1 – z2 = (a1 – a2) + (b1 – b2)i.

الضرب: إذا كان z1 = a1 + b1i وz2 = a2 + b2i، فإن z1 z2 = (a1 a2 – b1 b2) + (a1 b2 + a2 b1)i.

القسمة والجذر التربيعي والقوى

القسمة: إذا كان z1 = a1 + b1i وz2 = a2 + b2i، فإن z1 / z2 = [(a1 a2 + b1 b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2 b1 – a1 b2) / (a2^2 + b2^2)]i.

الجذر التربيعي: إذا كان z = a + bi، فإن الجذر التربيعي للعدد المركب هو √z = √[(a + √(a^2 + b^2)) / 2] + √[(a – √(a^2 + b^2)) / 2]i.

القوى: إذا كان z = a + bi، فإن z^n = (a^n – n a^(n-1) b i + n(n-1) / 2! a^(n-2) b^2 + … + b^n) + (n a^(n-1) b + a^n i – n(n-1) / 2! a^(n-2) b^3 – …)i.

الخاتمة

الأعداد المركبة هي نوع مهم من الأعداد التي لها العديد من التطبيقات في العلوم والهندسة. إنها أداة قوية لحل مجموعة متنوعة من المشاكل، ومن المحتمل أن تستمر في لعب دور مهم في تطوير التكنولوجيا في المستقبل.