عبارات مواليد للتوزيعات هي طرق تمثيل الاحتمالية لتوزيع احتمالي. يمكن استخدامها لحساب الاحتمالات، واللحظات، ووظائف التوزيع التراكمي، وكذلك العديد من الكميات الأخرى.
أنواع عبارات المواليد
هناك العديد من أنواع عبارات المواليد، ولكل منها خصائصه الفريدة. فيما يلي الأنواع الأكثر شيوعًا:
1. عبارات المواليد الابتدائية
عبارات المواليد الابتدائية هي أبسط أنواع عبارات المواليد. وهي مكونة من متغير عشوائي واحد وعدد قليل من الثوابت. على سبيل المثال، عبارة المواليد الابتدائية للتوزيع الطبيعي هي:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
حيث $\mu$ هو المتوسط و$\sigma$ هو الانحراف المعياري.
2. عبارات المواليد المركبة
عبارات المواليد المركبة هي عبارات مواليد أكثر تعقيدًا تتكون من متغيرين عشوائيين أو أكثر. على سبيل المثال، عبارة المواليد المركبة للتوزيع الطبيعي المتعدد المتغيرات هي:
$$f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\mathbf{\Sigma}|^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu})’\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu})}$$
حيث $\mathbf{x}$ هو متجه المتغيرات العشوائية، و$\mathbf{\mu}$ هو متجه المتوسطات، و$\mathbf{\Sigma}$ هو مصفوفة التغاير.
3. عبارات المواليد غير المعلمة
عبارات المواليد غير المعلمة هي عبارات مواليد لا تتضمن أي معلمات. وهي مفيدة عندما لا تكون معلمات التوزيع معروفة. على سبيل المثال، عبارة المواليد غير المعلمة للتوزيع الطبيعي هي:
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$
4. عبارات المواليد شبه المعلمة
عبارات المواليد شبه المعلمة هي عبارات مواليد تحتوي على بعض المعلمات المعروفة وبعض المعلمات غير المعروفة. وهي مفيدة عندما تكون بعض معلمات التوزيع معروفة. على سبيل المثال، عبارة المواليد شبه المعلمة للتوزيع الطبيعي هي:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
حيث $\mu$ هو المتوسط المعروف و$\sigma$ هو الانحراف المعياري غير المعروف.
5. عبارات مواليد متعددة المتغيرات
عبارات المواليد متعددة المتغيرات هي عبارات مواليد تتضمن أكثر من متغير عشوائي واحد. وهي مفيدة عند دراسة العلاقات بين متغيرات عشوائية متعددة. على سبيل المثال، عبارة المواليد متعددة المتغيرات للتوزيع الطبيعي المتعدد المتغيرات هي:
$$f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\mathbf{\Sigma}|^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu})’\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu})}$$
6. عبارات المواليد اللانهائية
عبارات المواليد اللانهائية هي عبارات مواليد تتضمن عددًا لانهائيًا من المتغيرات العشوائية. وهي مفيدة عند دراسة العمليات اللانهائية، مثل عمليات ماركوف. على سبيل المثال، عبارة المواليد اللانهائية للتوزيع الهندسي هي:
$$f(x) = p(1-p)^x$$
حيث $p$ هو احتمال النجاح في كل تجربة.
7. عبارات المواليد الشرطية
عبارات المواليد الشرطية هي عبارات مواليد تتضمن متغيرين عشوائيين أو أكثر، مع شرط معين. وهي مفيدة عند دراسة العلاقات بين المتغيرات العشوائية المشروطة. على سبيل المثال، عبارة المواليد الشرطية للتوزيع الطبيعي هي:
$$f(x|y) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
حيث $y$ هو المتغير العشوائي الشرطي.
التطبيقات
عبارات المواليد لها العديد من التطبيقات في مجالات مختلفة، منها:
الإحصاء: تستخدم عبارات المواليد في الإحصاء لحساب الاحتمالات، واللحظات، ووظائف التوزيع التراكمي، وكذلك العديد من الكميات الأخرى.
الاحتمال: تستخدم عبارات المواليد في الاحتمال لدراسة خصائص التوزيعات الاحتمالية.
الهندسة: تستخدم عبارات المواليد في الهندسة لدراسة خصائص الأشكال الهندسية.
الفيزياء: تستخدم عبارات المواليد في الفيزياء لدراسة خصائص الجسيمات والأنظمة الفيزيائية.
الاقتصاد: تستخدم عبارات المواليد في الاقتصاد لدراسة خصائص الأسواق والاقتصادات.
الخلاصة
عبارات المواليد هي أدوات مهمة تستخدم في العديد من المجالات لدراسة خصائص التوزيعات الاحتمالية والمتغيرات العشوائية. وهي توفر تمثيلًا رياضيًا للاحتمالية ويمكن استخدامها لحساب الاحتمالات، واللحظات، ووظائف التوزيع التراكمي، وكذلك العديد من الكميات الأخرى.