الدوال المثلثية هي مجموعة من الدوال الرياضية التي تصف العلاقة بين الزوايا ونسب المثلثات القائمة الزاوية. تستخدم هذه الدوال لحساب جوانب ومساحات المثلثات، وتستخدم أيضًا في العديد من التطبيقات الأخرى مثل الهندسة والفيزياء.
الدوال المثلثية الأساسية
هناك ست دوال مثلثية أساسية: الجيب (sin)، وجيب التمام (cos)، والظل (tan)، وجيب التمام العكسي (arcsin)، وجيب تمام التمام العكسي (arccos)، والظل العكسي (arctan).
الجيب
الجيب هو النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية في مثلث قائم الزاوية وطول الوتر. يمكن حسابه باستخدام المعادلة:
$$sin(\theta) = \frac{opposite}{hypotenuse}$$
حيث:
\(sin(\theta)\) هو جيب الزاوية \(\theta\).
\(opposite\) هو طول الضلع المقابل للزاوية \(\theta\).
\(hypotenuse\) هو طول الوتر.
جيب التمام
جيب التمام هو النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية في مثلث قائم الزاوية وطول الوتر. يمكن حسابه باستخدام المعادلة:
$$cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$$
حيث:
\(cos(\theta)\) هو جيب تمام الزاوية \(\theta\).
\(adjacent\) هو طول الضلع المجاور للزاوية \(\theta\).
\(hypotenuse\) هو طول الوتر.
الظل
الظل هو النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الضلع المجاور لها في مثلث قائم الزاوية. ويمكن حسابه باستخدام المعادلة:
$$tan(\theta) = \frac{opposite}{adjacent}$$
حيث:
\(tan(\theta)\) هو ظل الزاوية \(\theta\).
\(opposite\) هو طول الضلع المقابل للزاوية \(\theta\).
\(adjacent\) هو طول الضلع المجاور للزاوية \(\theta\).
الدوال المثلثية العكسية
الدوال المثلثية العكسية هي دوال تستخدم لإيجاد قيمة الزاوية عندما تكون نسبة مثلثية معينة معروفة.
جيب التمام العكسي (arcsin) هو الدالة العكسية للدالة sin.
جيب تمام التمام العكسي (arccos) هو الدالة العكسية للدالة cos.
الظل العكسي (arctan) هو الدالة العكسية للدالة tan.
المتطابقات المثلثية
المتطابقات المثلثية هي معادلات تربط بين الدوال المثلثية المختلفة. يمكن استخدام هذه المتطابقات لحل المسائل المثلثية وتبسيط التعبيرات المثلثية.
متطابقة فيثاغورس: $$sin^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1$$
متطابقة الجمع: $$sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)$$
متطابقة الفرق: $$sin(A – B) = sin(A)cos(B) – cos(A)sin(B)$$
التطبيقات الهندسية
تستخدم الدوال المثلثية في العديد من التطبيقات الهندسية، مثل:
حساب جوانب ومساحات المثلثات
حساب زوايا المثلثات
رسم المنحنيات
التطبيقات الفيزيائية
تستخدم الدوال المثلثية أيضًا في العديد من التطبيقات الفيزيائية، مثل:
حساب حركة المقذوفات
حساب تردد الموجات
حساب التيار الكهربائي
الخلاصة
الدوال المثلثية هي مجموعة مهمة من الدوال الرياضية تستخدم في العديد من التطبيقات المختلفة. يمكن استخدامها لحساب جوانب ومساحات المثلثات، وحساب زوايا المثلثات، ورسم المنحنيات، وحساب حركة المقذوفات، وحساب تردد الموجات، وحساب التيار الكهربائي.