العدد المركب

العدد المركب

المقدمة:

العدد المركب هو عدد رياضي يتكون من جزأين، الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. الجزء الحقيقي هو عدد حقيقي، والجزء التخيلي هو عدد حقيقي مضروب في الوحدة التخيلية i، حيث i^2 = -1. يتم تمثيل العدد المركب على النحو التالي:

z = a + bi

حيث a هو الجزء الحقيقي وb هو الجزء التخيلي.

خصائص العدد المركب:

1. الجمع والطرح:

– يمكن جمع وطرح عددين مركبين عن طريق جمع وطرح أجزائهما الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل.

– أي z1 = a + bi و z2 = c + di، فإن

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i

2. الضرب والقسمة:

– يمكن ضرب عددين مركبين عن طريق ضرب أجزائهما الحقيقية والتخيلية مع بعضها البعض.

– أي z1 = a + bi و z2 = c + di، فإن

z1 z2 = (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

– يمكن قسمة عدد مركب على عدد مركب آخر عن طريق ضرب العدد الأول في مقلوب العدد الثاني.

– أي z1 = a + bi و z2 = c + di، فإن

z1 / z2 = (a + bi)/(c + di) = ((a + bi)(c – di))/(c^2 + d^2) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc – ad)/(c^2 + d^2)i

3. القيمة المطلقة:

– القيمة المطلقة للعدد المركب z = a + bi تعطى بالمعادلة التالية:

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

4. الزاوية:

– الزاوية التي يشكلها العدد المركب z = a + bi مع المحور الحقيقي تعطى بالمعادلة التالية:

arg(z) = arctan(b/a)

5. المرافق:

– المرافق للعدد المركب z = a + bi هو العدد المركب z = a – bi.

6. العدد المركب المترافق:

– العدد المركب المترافق للعدد المركب z = a + bi هو العدد المركب z = a – bi.

7. الأعداد المركبة و الهندسة:

– يمكن تمثيل الأعداد المركبة هندسيًا كنقاط في المستوى.

– يمثل الجزء الحقيقي للعدد المركب الإحداثي السيني لل نقطة، ويمثل الجزء التخيلي الإحداثي الصادي للنقطة.

الخلاصة:

العدد المركب هو عدد رياضي يتكون من جزأين، الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. يمكن استخدام الأعداد المركبة لتمثيل نقاط في المستوى، ولحل المعادلات الجبرية من الدرجة الثانية، وللدراسة التحليلية للوظائف.