التوزيعات ذات الحدين

مقدمة:

التوزيعات ذات الحدين هي فئة من التوزيعات الاحتمالية المنفصلة التي تصف عدد النجاحات في تجربة برنولي المتكررة. تُعرف أيضًا باسم توزيعات برنولي أو توزيعات nx. تم تطوير التوزيع ذي الحدين لأول مرة بواسطة عالم الرياضيات جاكوب بيرنولي في القرن السابع عشر، ويتم استخدامه على نطاق واسع في الإحصاء والتطبيقات الأخرى.

1. مفهوم التوزيع ذي الحدين:

– إن التوزيع ذي الحدين هو توزيع احتمال بمتغير عشوائي عددي يمثل عدد حوادث النجاح في عدد ثابت من التجارب، وباحتمال ثابت للنجاح في كل تجربة.

– يعتمد التوزيع ذو الحدين على تجربة برنولي، وهي تجربة ثنائية النتيجة يكون ناتجها إما النجاح أو الفشل، ويكون احتمال النجاح ثابتًا في كل تجربة.

– التوزيع ذو الحدين هو توزيع احتمالي منفصل، مما يعني أنه يأخذ قيمًا عددية منفصلة، ويمكن تمثيله من خلال دالة الكتلة الاحتمالية.

2. دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع ذي الحدين:

– تُعطى دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع ذي الحدين بالمعادلة التالية:

“`

P(X = x) = (n! / (x!(n-x)!)) p^x (1-p)^(n-x)

“`

– حيث:

– X هو المتغير العشوائي الذي يمثل عدد حوادث النجاح.

– n هو عدد التجارب.

– p هو احتمال النجاح في كل تجربة.

– x هو العدد المحتمل لحوادث النجاح.

– يمثل العامل (n! / (x!(n-x)!)) عدد الطرق الممكنة لحدوث x نجاح و (n-x) فشل في n تجربة، ويمثل p^x (1-p)^(n-x) احتمال حدوث هذا العدد الدقيق من النجاحات والفشل.

3. خصائص التوزيع ذي الحدين:

– متوسط التوزيع ذي الحدين هو np.

– تباين التوزيع ذي الحدين هو np(1-p).

– الانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين هو √np(1-p).

– التوزيع ذي الحدين متماثل حول المتوسط عندما يكون p = 0.5.

– التوزيع ذي الحدين مائل لليمين عندما يكون p > 0.5.

– التوزيع ذي الحدين مائل لليسار عندما يكون p < 0.5.

4. تطبيقات التوزيع ذي الحدين:

– يستخدم التوزيع ذي الحدين في مجموعة متنوعة من التطبيقات، بما في ذلك:

– اختبار الفرضيات: يستخدم التوزيع ذي الحدين لاختبار الفرضيات حول احتمال النجاح في تجربة برنولي.

– تقدير المعلمات: يستخدم التوزيع ذي الحدين لتقدير احتمال النجاح في تجربة برنولي.

– نمذجة البيانات: يستخدم التوزيع ذي الحدين لنمذجة عدد النجاحات في تجربة برنولي المتكررة.

5. العلاقة بين التوزيع ذي الحدين والتوزيعات الأخرى:

– يمكن اشتقاق التوزيع ذي الحدين من توزيع بواسون عندما يكون متوسط توزيع بواسون صغيرًا وعدد التجارب كبيرًا.

– يمكن اشتقاق التوزيع ذي الحدين من التوزيع الطبيعي عندما يكون متوسط التوزيع الطبيعي كبيرًا والتباين صغيرًا.

– يمكن اشتقاق التوزيع ذي الحدين من التوزيع الهندسي عندما يكون احتمال النجاح صغيرًا وعدد التجارب كبيرًا.

6. حدود التوزيع ذي الحدين:

– يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين بالتوزيع الطبيعي عندما يكون متوسط التوزيع ذي الحدين كبيرًا والتباين صغيرًا.

– يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين بالتوزيع بواسون عندما يكون متوسط التوزيع ذي الحدين صغيرًا وعدد التجارب كبيرًا.

– يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين بالتوزيع الهندسي عندما يكون احتمال النجاح صغيرًا وعدد التجارب كبيرًا.

7. التوزيعات ذات الحدين المتعددة:

– التوزيع ذو الحدين المتعدد هو تعميم للتوزيع ذي الحدين لمتغير عشوائي متعدد الأبعاد.

– يصف التوزيع ذو الحدين المتعدد عدد النجاحات في تجربة برنولي المتكررة مع أكثر من نتيجتين ممكنتين.

– يستخدم التوزيع ذو الحدين المتعدد في مجموعة متنوعة من التطبيقات، بما في ذلك اختبار الفرضيات وتقدير المعلمات ونمذجة البيانات.

الخلاصة:

التوزيع ذي الحدين هو توزيع احتمال شائع يستخدم لنمذجة عدد النجاحات في تجربة برنولي المتكررة. يتميز التوزيع ذو الحدين بدالة كتلة احتمالية بسيطة ومتوسط وتباين معروفين. يستخدم التوزيع ذو الحدين في مجموعة متنوعة من التطبيقات، بما في ذلك اختبار الفرضيات وتقدير المعلمات ونمذجة البيانات.