بحث عن المتجهات رياضيات

مقدمة

المتجه هو كمية رياضية لها مقدار واتجاه. يُستخدم المتجه لتمثيل العديد من الأشياء في الفيزياء والهندسة، مثل القوة والسرعة والانتقال. تُستخدم المتجهات أيضًا في الإحصاء لتمثيل البيانات المتعددة المتغيرات.

أنواع المتجهات

هناك نوعان رئيسيان من المتجهات: المتجهات الحرة والمتجهات المقيدة. المتجه الحر هو متجه يمكن تحريكه في أي مكان في الفضاء، بينما المتجه المقيد هو متجه محدود في حركته. على سبيل المثال، القوة هي متجه حر لأنها يمكن أن تعمل في أي اتجاه، بينما الإزاحة هي متجه مقيد لأنها محدودة باتجاه واحد.

العمليات على المتجهات

هناك عدد من العمليات التي يمكن إجراؤها على المتجهات، بما في ذلك الجمع والطرح والتضاعف والتقسيم.

الجمع: لإضافة متجهين، ببساطة تضيف مكونات المتجهين معًا. على سبيل المثال، إذا كان المتجه أ = (1، 2، 3) والمتجه ب = (4، 5، 6)، فإن المتجه أ + ب = (5، 7، 9).

الطرح: لطرح متجهين، ببساطة تطرح مكونات المتجهين من بعضها البعض. على سبيل المثال، إذا كان المتجه أ = (1، 2، 3) والمتجه ب = (4، 5، 6)، فإن المتجه أ – ب = (-3، -3، -3).

التضاعف: لمضاعفة متجه برقم، ببساطة تضاعف كل مكون من مكونات المتجه بهذا الرقم. على سبيل المثال، إذا كان المتجه أ = (1، 2، 3) والعدد س = 2، فإن المتجه سأ = (2، 4، 6).

التقسيم: لقسمة متجه على رقم، ببساطة تقسم كل مكون من مكونات المتجه بهذا الرقم. على سبيل المثال، إذا كان المتجه أ = (1، 2، 3) والعدد س = 2، فإن المتجه أ / س = (0.5، 1، 1.5).

تطبيقات المتجهات

تُستخدم المتجهات في العديد من التطبيقات، بما في ذلك:

الفيزياء: تُستخدم المتجهات في الفيزياء لتمثيل العديد من الأشياء، مثل القوة والسرعة والانتقال. على سبيل المثال، يمكن استخدام المتجه لتمثيل القوة المؤثرة على جسم ما أو السرعة التي يتحرك بها الجسم.

الهندسة: تُستخدم المتجهات في الهندسة لتمثيل العديد من الأشياء، مثل النقاط والخطوط والمستويات. على سبيل المثال، يمكن استخدام المتجه لتمثيل النقطة على خط أو المستوى.

الإحصاء: تُستخدم المتجهات في الإحصاء لتمثيل البيانات المتعددة المتغيرات. على سبيل المثال، يمكن استخدام المتجه لتمثيل البيانات المتعلقة بطول ووزن وعمر مجموعة من الأشخاص.

خصائص المتجهات

المقدار: مقدار المتجه هو طول المتجه. يُحسب مقدار المتجه باستخدام الصيغة التالية:

$$|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$$

حيث:

$|\vec{A}|$ هو مقدار المتجه أ

$A_x$، $A_y$، $A_z$ هي مكونات المتجه أ

الاتجاه: اتجاه المتجه هو زاوية المتجه بالنسبة إلى المحور السيني. يُحسب اتجاه المتجه باستخدام الصيغة التالية:

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{A_y}{A_x}\right)$$

حيث:

$\theta$ هو اتجاه المتجه أ

$A_x$، $A_y$ هي مكونات المتجه أ

وحدة المتجه: وحدة المتجه هي متجه له نفس اتجاه المتجه الأصلي ولكن له مقدار يساوي 1. يُحسب وحدة المتجه باستخدام الصيغة التالية:

$$\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$$

حيث:

$\hat{A}$ هي وحدة المتجه أ

$\vec{A}$ هو المتجه الأصلي

$|\vec{A}|$ هو مقدار المتجه الأصلي

الاستنتاج

المتجه هو كمية رياضية لها مقدار واتجاه. يُستخدم المتجه لتمثيل العديد من الأشياء في الفيزياء والهندسة والإحصاء. هناك نوعان رئيسيان من المتجهات: المتجهات الحرة والمتجهات المقيدة. هناك عدد من العمليات التي يمكن إجراؤها على المتجهات، بما في ذلك الجمع والطرح والتضاعف والتقسيم. تُستخدم المتجهات في العديد من التطبيقات، بما في ذلك الفيزياء والهندسة والإحصاء.