مقدمة:
في الرياضيات، قانون طول القوس هو صيغة تستخدم لحساب طول قوس المنحنى. يمكن استخدام هذا القانون لحساب طول أي جزء من المنحنى، بغض النظر عن شكله أو تعقيده.
1. مقدمة لقانون طول القوس:
قانون طول القوس هو أداة قوية لإيجاد طول أقواس المنحنيات.
يمكن استخدام قانون طول القوس لحساب طول أقواس الدوائر والقطع المكافئة والمنحنيات الجبرية الأخرى.
يمكن أيضًا استخدام قانون طول القوس لحساب طول أقواس المنحنيات المتعالية، مثل اللولب والقطع الزائد.
2. اشتقاق قانون طول القوس:
يمكن اشتقاق قانون طول القوس باستخدام حساب التفاضل والتكامل.
تبدأ العملية بإيجاد مشتق المنحنى.
ثم نستخدم المشتق لإيجاد طول القوس.
3. الصيغة العامة لقانون طول القوس:
الصيغة العامة لقانون طول القوس هي:
$$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \ dx$$
حيث:
L هو طول القوس.
a و b هما نقطتا النهاية للمنحنى.
dy/dx هو مشتق المنحنى.
4. تطبيقات قانون طول القوس:
يمكن استخدام قانون طول القوس لحساب طول أي جزء من المنحنى.
يمكن استخدام قانون طول القوس أيضًا لحساب مساحة المنطقة الواقعة تحت المنحنى.
يمكن استخدام قانون طول القوس أيضًا لحساب حجم الجسم الثابت المتولد عن دوران المنحنى حول محور.
5. قانون طول القوس للدائرة:
إذا كان المنحنى دائرة، فإن قانون طول القوس يصبح:
$$L = r\theta$$
حيث:
L هو طول القوس.
r هو نصف قطر الدائرة.
θ هي الزاوية المركزية المقابلة للقوس.
6. قانون طول القوس للقطع المكافئ:
إذا كان المنحنى قطعًا مكافئًا، فإن قانون طول القوس يصبح:
$$L = \frac{a}{2} \ln \left(\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{a – \sqrt{a^2 + b^2}}\right)$$
حيث:
L هو طول القوس.
a و b هما المحوران شبه الرئيسيان للقطع المكافئ.
7. قانون طول القوس للمنحنى الجبري:
إذا كان المنحنى منحنىً جبريًا، فإن قانون طول القوس يصبح:
$$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \ dx$$
حيث:
L هو طول القوس.
a و b هما نقطتا النهاية للمنحنى.
dy/dx هو مشتق المنحنى.
الخلاصة:
قانون طول القوس هو أداة قوية لإيجاد طول أقواس المنحنيات. يمكن استخدام هذا القانون لحساب طول أي جزء من المنحنى، بغض النظر عن شكله أو تعقيده. كما أن قانون طول القوس له العديد من التطبيقات في مجالات مختلفة مثل الهندسة والفيزياء.