قانون محيط متوازى الأضلاع
مقدمة
متوازي الأضلاع هو شكل رباعي له ضلعان متوازيان ومتساويان. ويسمى الضلعان اللذان ليسا متوازيين بالقاعدة والارتفاع. محيط متوازي الأضلاع هو مجموع أطوال أضلاعه الأربعة.
قانون محيط متوازي الأضلاع
ينص قانون محيط متوازي الأضلاع على أن محيط متوازي الأضلاع يساوي مجموع طولي قاعدتيه وارتفاعه. أي أن محيط متوازي الأضلاع = 2ق + 2ارتفاع.
إثبات قانون محيط متوازي الأضلاع
يمكن إثبات قانون محيط متوازي الأضلاع باستخدام الهندسة التحليلية. لنفرض أن متوازي الأضلاع ABCD له قاعدتان AB وCD وارتفاع AD.
بالنظر إلى الشكل، يمكننا ملاحظة أن مثلث ABD مثلث قائم الزاوية لأن زاوية ABD قائمة. وبالتالي، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر AB:
AB^2 = AD^2 + BD^2
وبالمثل، يمكننا إيجاد طول الوتر CD:
CD^2 = AD^2 + AC^2
بجمع المعادلتين السابقتين، نحصل على:
AB^2 + CD^2 = 2AD^2 + BD^2 + AC^2
بإعادة ترتيب العبارات، نحصل على:
AB^2 + CD^2 = (BD + AC)^2
بجذر الطرفين، نحصل على:
AB + CD = BD + AC
وبالتالي، محيط متوازي الأضلاع = AB + BC + CD + DA = 2AB + 2BC = 2(AB + BC) = 2ق + 2ارتفاع.
تطبيقات قانون محيط متوازي الأضلاع
يستخدم قانون محيط متوازي الأضلاع في العديد من التطبيقات الهندسية، بما في ذلك:
1. إيجاد محيط متوازي الأضلاع: إذا كانت القاعدتان والارتفاع لمتوازي الأضلاع معروفة، فيمكن استخدام قانون محيط متوازي الأضلاع لإيجاد محيطه.
2. إيجاد طول أحد أضلاع متوازي الأضلاع: إذا كانت الثلاثة أضلاع الأخرى لمتوازي الأضلاع معروفة، فيمكن استخدام قانون محيط متوازي الأضلاع لإيجاد طول الضلع الرابع.
3. إيجاد مساحة متوازي الأضلاع: إذا كانت القاعدة والارتفاع لمتوازي الأضلاع معروفة، فيمكن استخدام قانون محيط متوازي الأضلاع لإيجاد مساحته.
فيما يلي بعض الأمثلة على استخدام قانون محيط متوازي الأضلاع:
1. لنفرض أن متوازي الأضلاع ABCD له قاعدتان AB وCD طولهما 10 سم و12 سم على التوالي، وارتفاع AD طوله 8 سم. ما هو محيط متوازي الأضلاع ABCD؟
باستخدام قانون محيط متوازي الأضلاع، يمكننا إيجاد محيط متوازي الأضلاع ABCD كما يلي:
محيط متوازي الأضلاع ABCD = 2ق + 2ارتفاع = 2(10 سم + 12 سم) + 2(8 سم) = 60 سم
لذلك، محيط متوازي الأضلاع ABCD هو 60 سم.
2. لنفرض أن متوازي الأضلاع ABCD له قاعدتان AB وCD طولهما 10 سم و12 سم على التوالي، ومحيطه 40 سم. ما هو طول ارتفاع متوازي الأضلاع ABCD؟
باستخدام قانون محيط متوازي الأضلاع، يمكننا إيجاد ارتفاع متوازي الأضلاع ABCD كما يلي:
محيط متوازي الأضلاع ABCD = 2ق + 2ارتفاع = 40 سم
2ق = 10 سم + 12 سم = 22 سم
ارتفاع = (محيط متوازي الأضلاع ABCD – 2ق) / 2 = (40 سم – 22 سم) / 2 = 9 سم
لذلك، ارتفاع متوازي الأضلاع ABCD هو 9 سم.
3. لنفرض أن متوازي الأضلاع ABCD له قاعدة AB طولها 10 سم وارتفاع AD طوله 8 سم. ما هو طول الضلع BC؟
باستخدام قانون محيط متوازي الأضلاع، يمكننا إيجاد طول الضلع BC كما يلي:
محيط متوازي الأضلاع ABCD = 2ق + 2ارتفاع = 2(10 سم) + 2(8 سم) = 36 سم
ق = AB + BC = 10 سم + BC
BC = ق – AB = 36 سم – 10 سم = 26 سم
لذلك، طول الضلع BC هو 26 سم.
خاتمة
قانون محيط متوازي الأضلاع هو قانون مهم في الهندسة وهو يستخدم في العديد من التطبيقات الهندسية.