No images found for بحث عن التكامل في الرياضيات pdf
التكامل هو عملية إيجاد النهاية الدقيقة لقيمة دالة دالة متغيرة، أو جزء محدد من دالة متغيرة. ويشكل مع عملية التفاضل فرعاً مهماً من فروع الرياضيات يسمى التفاضل والتكامل. ولهُ تطبيقات عديدة في العديد من المجالات مثل الفيزياء والاقتصاد والهندسة وغيرها.
أنواع التكامل
1. التكامل غير المحدود:
– هو إيجاد دالة تكاملية متصلة، أي دالة مشتقة تساوي الدالة الأصلية.
– ويسمى ناتج التكامل غير المحدد بدالة التكامل أو الكلي.
– دالة تكامل لدالة ما لا تكون وحيدة.
2. التكامل المحدود:
– هو إيجاد مساحة المنطقة تحت المنحنى المرسوم للالة الأصلية بين حدين معينين.
– ويستخدم رمز التكامل ∫ للدلالة على عملية التكامل المحدود.
– صيغة التكامل المحدود: ∫b(a) f(x) dx = F(b) – F(a)
التكامل التفاضلي
1. قانون القوة:
– ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, n ≠ -1
– مثال: ∫ x^3 dx = (x^4)/4 + C
2. قانون التكامل بالتفاضل:
– إذا كانت F(x) دالة تكاملية للدالة f(x)، فإن ∫ f(x) dx = F(x) + C
– مثال: ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
3. التكامل بالتجزيء:
– إذا كانت f(x) = u(x) v(x)، فإن ∫ f(x) dx = ∫ u(x) v(x) dx = u(x) ∫ v(x) dx – ∫ [d(u(x))/dx] ∫ v(x) dx
التكامل الكسري
1. تكامل ريمان-ليوبوفيل:
– هو تعميم لتكامل ريمان العادي، ويستخدم لتعريف التكامل الكسري.
– صيغة تكامل ريمان-ليوبوفيل: (a)Iαf(x) = 1/Γ(α) ∫0(x-t)^(α-1) f(t) dt, α > 0
2. تكامل كابوتو:
– هو نوع آخر من التكامل الكسري، ويستخدم أيضًا لتعريف التكامل الكسري.
– صيغة تكامل كابوتو: (b)Iαf(x) = 1/Γ(α) ∫0t(x-t)^(α-1) f'(t) dt, α > 0
3. تطبيقات التكامل الكسري:
– يستخدم التكامل الكسري في العديد من المجالات، مثل الفيزياء والهندسة والاقتصاد وغيرها.
– مثال: يستخدم التكامل الكسري في دراسة سلوك المواد اللزجة.
التكامل العددي
1. طريقة شبه المنحرف:
– هي أبسط طريقة للتكامل العددي.
– صيغة شبه المنحرف: ∫b(a) f(x) dx ≈ (b-a)/2 [f(a) + f(b)]
2. طريقة السلم:
– هي طريقة أكثر دقة من طريقة شبه المنحرف.
– صيغة السلم: ∫b(a) f(x) dx ≈ (b-a)/n [f(x1) + f(x2) + … + f(xn)]
3. طريقة جوس-ليجاندر:
– هي طريقة أكثر دقة من طريقة السلم.
– صيغة جوس-ليجاندر: ∫b(a) f(x) dx ≈ ∑(i=1)^n w_i f(x_i)
تطبيقات التكامل
1. مساحة المنطقة تحت المنحنى:
– يستخدم التكامل لإيجاد مساحة المنطقة تحت المنحنى المرسوم للدالة الأصلية بين حدين معينين.
2. حجم الجسم الثابت:
– يستخدم التكامل لإيجاد حجم الجسم الثابت الذي تتولد دوراته حول محور معين.
3. طول القوس:
– يستخدم التكامل لإيجاد طول القوس المنحني لدالة معينة بين حدين معينين.
الخلاصة
التكامل هو عملية مهمة في الرياضيات ولها العديد من التطبيقات في العديد من المجالات. من أنواع التكامل نجد التكامل غير المحدود والتكامل المحدود. وهناك أيضًا أنواع أخرى من التكامل مثل التكامل الكسري والتكامل العددي. يستخدم التكامل لحساب العديد من الكميات مثل مساحة المنطقة تحت المنحنى وحجم الجسم الثابت وطول القوس.