شرح الاعداد النسبية

مقدمة:

الأعداد النسبية هي مجموعة من الأعداد التي يمكن تمثيلها بنسبة عددين صحيحين a و b، حيث b ≠ 0. يُكتب الرقم النسبي على شكل a/b، حيث a هو البسط و b هو المقام. يمكن كتابة أي عدد نسبي على شكل كسر عشري، والعكس صحيح.

1. خصائص الأعداد النسبية:

– الأعداد النسبية مغلقة الجمع والطرح، أي إذا كان a/b و c/d عددين نسبيين، فإن (a/b) + (c/d) و (a/b) – (c/d) أيضًا أعداد نسبية.

– الأعداد النسبية مغلقة الضرب والقسمة، أي إذا كان a/b و c/d عددين نسبيين، فإن (a/b) × (c/d) و (a/b) ÷ (c/d) أيضًا أعداد نسبية.

– العدد النسبي 0/1 هو العدد المحايد للجمع، أي أن (a/b) + 0/1 = (a/b) لكل الأعداد النسبية a/b.

– العدد النسبي 1/1 هو العدد المحايد للضرب، أي أن (a/b) × 1/1 = (a/b) لكل الأعداد النسبية a/b.

– إذا كان a/b عدد نسبي موجب، فإن -a/b عدد نسبي سالب.

2. تمثيل الأعداد النسبية بالكسور العشرية:

– يمكن تمثيل أي عدد نسبي على شكل كسر عشري. للقيام بذلك، نقسم البسط على المقام. إذا كان المقام غير قابل للقسمة بالتساوي على البسط، فإن الكسر العشري يكون غير منتهٍ وغير متكرر.

– إذا كان المقام قابلًا للقسمة بالتساوي على البسط، فإن الكسر العشري يكون منتهيًا. على سبيل المثال، 3/4 = 0.75.

– إذا كان الكسر العشري غير منتهٍ وغير متكرر، فيمكن تقريبه إلى عدد معين من المنازل العشرية. على سبيل المثال، 1/3 ≈ 0.333.

3. الأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية:

– الأعداد الصحيحة هي مجموعة فرعية من الأعداد النسبية. العدد الصحيح هو رقم يمكن كتابته بدون كسر، مثل 1، 2، 3، إلخ.

– الأعداد الكسرية هي مجموعة فرعية من الأعداد النسبية. العدد الكسري هو رقم يمكن كتابته على شكل كسر، مثل 1/2، 2/3، 3/4، إلخ.

4. المقارنة بين الأعداد النسبية:

– يمكن مقارنة الأعداد النسبية باستخدام علامات المقارنة <، >، ≤، ≥.

– إذا كان a/b و c/d عددين نسبيين، فإن a/b < c/d إذا وفقط إذا ad < bc.

– إذا كان a/b و c/d عددين نسبيين، فإن a/b = c/d إذا وفقط إذا ad = bc.

– إذا كان a/b و c/d عددين نسبيين، فإن a/b > c/d إذا وفقط إذا ad > bc.

5. العمليات الحسابية الأساسية على الأعداد النسبية:

– الجمع: لجمع عددين نسبيين a/b و c/d، نضرب البسط بالأبسط والمقام بالمقام، ثم نجمع الناتجين. النتيجة هي كسر جديد له نفس المقام مثل الكسرين الأصليين.

– الطرح: لطرح عدد نسبي c/d من عدد نسبي آخر a/b، نضرب البسط بالأبسط والمقام بالمقام، ثم نطرح الناتجين. النتيجة هي كسر جديد له نفس المقام مثل الكسرين الأصليين.

– الضرب: لضرب عددين نسبيين a/b و c/d، نضرب البسطين والمقامين معًا. النتيجة هي كسر جديد له بسط يساوي حاصل ضرب البسطين ومقام يساوي حاصل ضرب المقامين.

– القسمة: لقسمة عدد نسبي a/b على عدد نسبي آخر c/d، نضرب الرقم الأول في مقلوب الرقم الثاني. النتيجة هي كسر جديد بسط يساوي حاصل ضرب البسطين ومقام يساوي حاصل ضرب المقامين.

6. النسبة والتناسب:

– النسبة هي مقارنة بين كميتين من نفس النوع. تُكتب النسبة على شكل a:b، حيث a هي المقدار الأول و b هي المقدار الثاني.

– التناسب هو علاقة بين أربع كميات، حيث تكون النسبة بين الكميتين الأوليين مساوية للنسبة بين الكميتين الأخيرتين. يُكتب التناسب على شكل a:b = c:d، حيث a و b هما الكميتان الأوليان و c و d هما الكميتان الأخيرتان.

7. التطبيقات العملية للأعداد النسبية:

– تستخدم الأعداد النسبية في العديد من المجالات العملية، مثل:

– الرياضيات: تستخدم الأعداد النسبية في جميع فروع الرياضيات تقريبًا، بما في ذلك الجبر، والهندسة، والتحليل.

– الفيزياء: تستخدم الأعداد النسبية في جميع فروع الفيزياء تقريبًا، بما في ذلك الميكانيكا، والكهرباء، والمغناطيسية.

– الكيمياء: تستخدم الأعداد النسبية في جميع فروع الكيمياء تقريبًا، بما في ذلك التكوين الذري، والتفاعلات الكيميائية، والتوازن الكيميائي.

– الاقتصاد: تستخدم الأعداد النسبية في جميع فروع الاقتصاد تقريبًا، بما في ذلك الإنتاج، والتوزيع، والاستهلاك.

– المالية: تستخدم الأعداد النسبية في جميع فروع المالية تقريبًا، بما في ذلك الاستثمار، والتمويل، والتأمين.

الخاتمة:

الأعداد النسبية هي مجموعة مهمة من الأرقام تستخدم في العديد من المجالات العملية. إنها مغلقة الجمع والطرح، والضرب والقسمة، ويمكن تمثيلها بالكسور العشرية. يمكن مقارنة الأعداد النسبية باستخدام علامات المقارنة <، >، ≤، ≥. العمليات الحسابية الأساسية على الأعداد النسبية هي الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة. تستخدم الأعداد النسبية أيضًا في النسبة والتناسب، ولها العديد من التطبيقات العملية في مجالات مختلفة، مثل الرياضيات والفيزياء والكيمياء والاقتصاد والمالية.